Formelsammlung Mathematik: Unendliche Reihen

Aus Wikimedia Labs

Wechseln zu: Navigation, Suche

Zurück zur Formelsammlung Mathematik

Inhaltsverzeichnis

1 Unendliche geometrische Reihe
2 Binomische Reihe
3 Reihe mit Lambert W-Funktion
4 Catalansche Konstante
5 Weitere Reihen
6 Ramanujan-Reihen
7 Polylogarithmus-Reihen
8 Fourier-Reihen
9 Zahlentheoretische Reihen
10 Dirichlet Reihen

[Bearbeiten] Unendliche geometrische Reihe

$\sum_{k=0}^\infty z^k=\frac{1}{1-z} \qquad |z|<1\!$

[Bearbeiten] Binomische Reihe

$(1+z)^\alpha=\sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} z^k$

[Bearbeiten] Reihe mit Lambert W-Funktion

$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \, n^n}{n!}\, z^n=\frac{1}{1+W(z)}$

[Bearbeiten] Catalansche Konstante

$G=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}$

[Bearbeiten] Weitere Reihen

$\sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k\, (k+1)}=\frac{1}{n}$

$\sum_{k=1}^\infty \frac{(1-z)^{k+n}\, (-1)^n}{k\,(k+1)\cdots (k+n)} =\frac{z^n}{n!}\, (H_n-\ln z)+ \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!\, k}\,\frac{z^{n-k}}{(n-k)!}$

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k\, (k+1)\cdots (k+n)}=\frac{1}{n\cdot n!}$

$\sum_{k=0}^\infty B(x+k,y+1)=B(x,y)$

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2\cdots (k+n)^2}=\frac{1}{n!^2} {2n\choose n} \left(\frac{\pi^2}{6}-3\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2 {2k\choose k}}\right)$

$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2\cdots (2k+2n+1)^2}=\frac{1}{n!^2} \frac{{2n\choose n}}{2^{2n}} \left( \frac{\pi^2}{8}-\frac14 \sum_{k=1}^n \frac{(3k-1) \,2^{4k}}{k^3 {2k\choose k}^3} \right)$

$\sum_{k=1}^\infty k^n z^k=\sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k\end{Bmatrix} \frac{k! \, z^k}{(1-z)^{k+1}} \qquad |z|<1$

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{2n}}=\frac{(-1)^{n-1}\, B_{2n}\, \pi^{2n}\, 2^{2n-1}}{(2n)!}$

$\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)^{2n+1}}=|E_{2n}|\,\frac{\pi^{2n+1}}{2^{2n+2}\, (2n)!}$

$\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos\left(2\pi kx-\frac{n\pi}{2}\right)}{k^n}=-\frac{B_n(x)\, (2\pi)^n}{2\, n!}$

$\sum_{k=-\infty}^\infty \frac{(-1)^k\, \cos(kx)}{k^2+\alpha^2}=\frac{\pi}{\alpha}\, \frac{\cosh(\alpha x)}{\sinh(\alpha\pi)}$

$\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{3k+1}=\frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$

$\sum_{n=1}^\infty H_n x^n=-\frac{\ln(1-x)}{1-x}$

$\sum_{k=2}^\infty \frac{(-1)^k \, \ln k}{k}=\gamma\, \ln 2-\frac12 \ln^2 2$

Beweis

$\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^k\, \ln k}{k}+\sum_{k=1}^{2n} \frac{\ln k}{k}=\sum_{k=1}^{2n} \frac{\left((-1)^k+1\right) \ln k}{k}=\sum_{k=1}^n \frac{2\, \ln(2k)}{2k}=H_n\, \ln 2+\sum_{k=1}^n \frac{\ln k}{k}$

$\Rightarrow \sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^k\, \ln k}{k}=H_n\, \ln 2-\sum_{k=1}^n \frac{\ln(n+k)}{n+k}=\left(H_n-\ln n\right)\ln 2+\ln n\, \ln 2-\sum_{k=1}^n \frac{\ln\left(1+\frac{k}{n}\right)+\ln n}{n+k}$

$=\underbrace{\left(H_n-\ln n\right)}_{\to \gamma}\ln 2-\underbrace{\sum_{k=1}^n \frac{\ln\left(1+\frac{k}{n}\right)}{1+\frac{k}{n}} \frac{1}{n}}_{\to \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x}\, dx=\frac{\ln^2 2}{2}}-\underbrace{\left(H_{2n}-H_n-\ln 2\right)\, \ln n}_{\to 0}$

$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k \, \ln(2k+1)}{2k+1}=-\frac{\pi \gamma}{4}-\frac{\pi}{2} \ln\left(\sqrt{2\pi}\,\frac{\Gamma\left(\frac34\right)}{\Gamma\left(\frac14\right)}\right)$

[Bearbeiten] Ramanujan-Reihen

$\sum_{k=1}^\infty \frac{\coth(k\pi)}{k^3}=\frac{7\pi^3}{180}$

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3\, (e^{2\pi k}-1)}=\frac{7\pi^3}{360}-\frac12 \zeta(3)$

$\sum_{k=1}^\infty \frac{2k+1}{e^{(2k+1)\pi}+1}=\frac{1}{24}$

$\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{e^{2k\pi}-1}=\frac{1}{24}-\frac{1}{8\pi}$

$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k\, \sinh(k\pi)}=\frac{\pi}{12}-\frac12 \ln 2$

$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^3\, \sinh(k\pi)}=-\frac{\pi^3}{360}$

[Bearbeiten] Polylogarithmus-Reihen

$\text{Li}_1\left(\frac12\right)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k \, 2^k}=\ln 2$

$\text{Li}_2\left(\frac12\right)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2 \, 2^k}=\frac{\pi^2}{12}-\frac12 \ln^2 2$

$\text{Li}_3\left(\frac12\right)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 \, 2^k}=\frac78 \zeta(3)-\frac{\pi^2}{12} \ln 2+\frac16 \ln^3 2$

[Bearbeiten] Fourier-Reihen

$\sum_{k=1}^\infty \frac{\varrho^k \cos(k\varphi)}{k}=-\frac{1}{2}\, \ln\left(1-2\varrho\cos(\varphi)+\varrho^2\right) \qquad \varrho\in ]-1,1[ \; ,\, \varphi\notin \pi\Bbb{R}$

$\sum_{k=1}^\infty \frac{\varrho^k \sin(k\varphi)}{k}=\arctan\left(\frac{\varrho\,\sin\varphi}{1-\varrho\,\cos \varphi}\right) \qquad \qquad \varrho\in ]-1,1[ \; ,\, \varphi\notin \pi\Bbb{R}$

$\sum_{k=1}^\infty \frac{(\pm 1)^k \cos(k\varphi)}{k} =-\ln\left(2\;\begin{matrix}\sin \\ \cos\end{matrix} \left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)$

$\sum_{k=1}^\infty \frac{(\pm 1)^k\, \sin(k\varphi)}{k}=\frac{\pi}{4}\pm \frac{\pi}{4}\mp\frac{\varphi}{2}$

$\sum_{k=0}^\infty \frac{\cos (2k+1)\varphi}{2k+1}=-\frac12 \ln\left( \tan \frac{\varphi}{2}\right)$

$\sum_{k=0}^\infty \frac{\sin(2k+1)\varphi}{2k+1}=\frac{\pi}{4}\, \text{sgn}(\sin \varphi)$

$\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k\, \cos(2k+1)\varphi}{2k+1}=\frac{\pi}{4}\, \text{sgn}(\cos \varphi)$

$\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k\, \sin(2k+1)\varphi}{2k+1}=\frac12 \ln\left(\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi}{2}\right)\right)$

$\sum_{k=0}^\infty \varrho^k\cos(k\varphi)=\frac{1-\varrho\cos\varphi}{1-2\varrho\cos(\varphi)+\varrho^2} \qquad |\varrho|<1\, , \, \varphi\in\Bbb{R}$

$\sum_{k=0}^\infty \varrho^k\sin(k\varphi)=\frac{\varrho\sin\varphi}{1-2\varrho\cos(\varphi)+\varrho^2} \qquad |\varrho|<1\, , \, \varphi\in\Bbb{R}$

[Bearbeiten] Zahlentheoretische Reihen

$\sum_{(n,m)=1} \frac{1}{n\, m\, (n+m)}=2$

Beweis

Man werte die Doppelreihe $\sum_{n,m=1}^\infty \frac{1}{n\,m\, (n+m)}$ auf zwei Arten aus.

Einerseits als $\sum_{n,m=1}^\infty \frac{1}{n\,m} \int_0^1 t^{n+m-1} \,dt =\int_0^1 \sum_{n,m=1}^\infty \frac{t^n}{n} \,\frac{t^m}{m} \, \frac{dt}{t}=\int_0^1 \left[-\ln(1-t)\right]^2\frac{dt}{t}$

$=\int_0^1 \frac{(\ln t)^2}{1-t}\, dt=\sum_{k=0}^\infty \int_0^1 (\ln t)^2 \, t^k \, dt=\sum_{k=0}^\infty \frac{2}{(k+1)^2}=\zeta(3)\cdot 2$ .

Und andererseits als $\sum_{d=1}^\infty \sum_{(n,m)=d} \frac{1}{n\, m\, (n+m)}=\sum_{d=1}^\infty \frac{1}{d^3}\sum_{(n,m)=1} \frac{1}{n\, m\, (n+m)}$

$\sum_{(n,m)=1} \frac{1}{n^s\, m^{s-1}\, (n+m)}=\frac{\zeta^2(s)}{2\, \zeta(2s)}$

Beweis

Man werte die Doppelreihe $\sum_{n,m=1} \frac{1}{n^s\, m^{s-1}\, (n+m)}$ auf zwei Arten aus.

Einerseits als $\sum_{n,m=1}^\infty \frac{1}{n^s\,m^{s-1}} \int_0^1 t^{n+m-1} \,dt =\int_0^1 \sum_{n,m=1}^\infty \frac{t^n}{n^s} \,\frac{t^{m-1}}{m^{s-1}} \, dt$

$=\int_0^1 \left(\sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n^s}\right)\cdot \left(\sum_{n=1}^\infty \frac{t^m}{m^s}\right)' dt=\left[\frac12 \left(\sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n^s}\right)^2\right]_0^1=\frac{\zeta^2 (s)}{2}$

Und andererseits als $\sum_{d=1}^\infty \sum_{(n,m)=d} \frac{1}{n^s\, m^{s-1}\, (n+m)}=\sum_{d=1}^\infty \frac{1}{d^{2s}}\sum_{(n,m)=1} \frac{1}{n^s\, m^{s-1}\, (n+m)}$